La gambler’s fallacy e la legge dei grandi numeri: perchè sembrano in contrasto, e invece no
Dopo aver vinto la Lega ho inanellato prestazioni imbarazzanti. Nel torneo NAF online sono andato sotto record neutro per la prima volta, e nel nostro torneo di allenamento inter-lega sto facendo vomitare. Potrei affrontare questo periodo buio con alcool e droghe, ma non è il mio stile. Il mio stile è tornare a recitare un mantra che mi aiuti a tornare con i piedi per terra, alle radici di questo gioco, e alle certezze sulle quali ho costruito quel poco di esperienza che ho. E quindi, siccome mi piace scrivere e questo sito è qui apposta, vi beccate l’ennesimo pippone. Così imparate, tiè.
Pronti? Pronti.
La gambler’s fallacy e la legge dei grandi numeri
La gambler’s fallacy, o fallacia del giocatore se vogliamo usare una lingua civile, si basa su un meccanismo naturale che porta, dopo una lunga sequenza di risultati dello stesso tipo, ad aspettarsi il risultato opposto, come una specie di compensazione. Dopo aver tirato una moneta abbastanza a lungo e avere sempre ottenuto testa, ci aspettiamo sempre di più che esca croce. Ovviamente è una fallacia logica, perchè se lanciamo una moneta nove volte e otteniamo nove teste, al decimo lancio la croce avrà comunque sempre e solo il 50% di probabilità di uscire.
La legge dei grandi numeri, però, ci dice che continuando a lanciare la moneta la sequenza di teste e croci tenderà ad attestarsi sul 50% per entrambi i casi.
E allora come funziona? Se abbiamo ottenuto troppe teste, prima o poi non devono forse arrivare più croci per riportare ordine nei conti?
Una spiegazione, bella nella sua semplicità, è che le cose accadono con i propri tempi e non possiamo fare nulla per affrettarle. La cosiddetta gambler’s fallacy consiste proprio nel credere che il verificarsi di un risultato “metta fretta” a quello opposto. La legge dei grandi numeri dice che dato un numero sufficientemente ampio di occorrenze, i casi tendono ad equilibrarsi sulla propria curva di probabilità. Ma lascia fuori una postilla importante, ossia che il caso se ne frega di voi e non ha alcuna fretta di riequilibrarsi.
Nuffle non ha memoria
Traduciamo tutto in una lingua che conosciamo meglio: facciamo un blocco a due dadi e otteniamo doppio teschio. Vi sentite già a casa, eh? Beh, come sapete la probabilità era una su trentasei. Ovviamente usiamo il reroll. A questo punto qual è la probabilità di ottenere un altro doppio teschio? Sempre una su trentasei.
Il primo tiro non rende il secondo più sicuro. I dadi non sanno di essere già stati offensivi, non provano imbarazzo e non sentono alcun bisogno di farsi perdonare. Non esiste una riunione del consiglio di amministrazione di Nuffle nella quale qualcuno dica: “Signori, forse stiamo esagerando. Al prossimo diamogli almeno una spinta”.
Prima di tirare i dadi, la probabilità di ottenere doppio teschio e poi nuovamente doppio teschio è una su 1.296. Diciamo (per amore della discussione) che è un evento raro. Ma una volta che il primo doppio teschio è già uscito, quella parte improbabile della storia è successa. Non dobbiamo più calcolarla. Siamo già lì, con due teschi davanti e la mano sul reroll. Da quel momento la probabilità di ripeterli è una su trentasei. È questa la distinzione che il nostro cervello digerisce male: confondiamo la probabilità di arrivare in una situazione con la probabilità di ciò che può accadere dopo che in quella situazione ci siamo già arrivati.
Vedere due doppi teschi consecutivi era estremamente improbabile prima di cominciare. Dopo il primo, il secondo non è più improbabile di quanto lo sia normalmente. Fa solo molto più incazzare.
La legge dei grandi numeri non pareggia i conti
Immaginiamo ora di iniziare una partita con due doppi teschi nei primi due blocchi. Mentre bestemmiamo, la nostra frequenza di doppio teschio è del 100%, contro il 2,78% previsto. Una discrepanza notevole, oltre che un buon motivo per tirare giù i Santi e andare a casa.
Continuiamo però a giocare, facendo sempre blocchi a due dadi nelle medesime condizioni. Nei successivi 360 blocchi ci aspettiamo, in media, una decina di doppi teschi. Sommando i due iniziali arriveremmo quindi a circa dodici doppi teschi su 362 blocchi: poco più del 3,3%. Nessuno ha cancellato i primi due. Nessuno li ha compensati regalandoci una serie miracolosa di risultati favorevoli. Sono ancora lì, entrambi, scolpiti nella nostra memoria e responsabili della nostra ulcera, solo che adesso sono semplicemente diventati meno importanti rispetto alla massa dei tiri successivi.
Questo è il punto centrale: la legge dei grandi numeri non corregge il passato. Lo diluisce. Se continuassimo per migliaia di blocchi, la percentuale di doppi teschi tenderebbe sempre più verso una su trentasei. Non perché i dadi stiano cercando di raggiungere quella cifra, ma perché i risultati anomali iniziali peserebbero sempre meno sul totale.
La fallacia del giocatore immagina una forza elastica: ci siamo allontanati dalla media, quindi qualcosa dovrà tirarci di nuovo verso di essa; e a ogni nuova occorrenza strana, stiamo accumulando sempre più spinta elastica contraria che ci riporterà verso la media (inondandoci di pow e di 6). La legge dei grandi numeri invece non prevede nessun elastico. A riportarci vicino alla media è soltanto l’enorme quantità di nuovi risultati normali che sommerge quelli vecchi. Non è una rivincita, ma solo fredda aritmetica.
“Una volta ogni trentasei” non significa ogni trentasei volte
Questo è ovvio ma vale la pena di ricordarlo ogni volta possibile. Dire che il doppio teschio ha una probabilità di una su trentasei non significa che ne debba uscire uno ogni trentasei blocchi. Non è un abbonamento con consegna programmata. In trentasei blocchi a due dadi la probabilità di vedere almeno un doppio teschio è circa il 64%. Rimane quindi più di una possibilità su tre di non vederne nemmeno uno. Oppure possono uscirne due, tre o, se Nuffle ha posato il suo benevolo occhio su di voi, quattro nei primi sei turni.
La percentuale teorica descrive ciò che emerge su un numero molto grande di prove. Non impone un calendario ai singoli risultati. È la stessa ragione per cui, in linea di massima, quando qualcuno dice “prima o poi doveva succedere”, bisogna capire cosa intende. Se intende che un evento con probabilità non-nulla diventa plausibile quando gli concediamo un numero enorme di occasioni, va bene. In una vita passata a giocare si vedono cose assurde: rimonte impossibili, lanci disperati, goblin che atterrano in piedi e nani che riescono perfino a muoversi di qualche casella. Se invece significa che, siccome quella cosa non è successa ultimamente, adesso è più probabile, siamo già nella fallacia del giocatore e siamo autorizzati a picchiarlo fortissimo sulla testa con una scarpa.
Il goblin atterrerà in piedi, prima o poi. Ma i suoi ultimi cinque atterraggi falliti non gli hanno fatto accumulare punti sulla tessera fedeltà.
Una sequenza improbabile non è un risultato strano
Già che siamo nel campo dell’ovvio, ribadiamo anche questo: consideriamo speciali solo le sequenze che hanno attirato la nostra attenzione, senza ricordarci che tutte le sequenze sono equiprobabili.
Quattro teschi consecutivi ci sembrano un evento fastidioso e degno di nota. Ed effettivamente, prima di tirare, ottenere proprio quattro teschi era poco probabile. Ma anche ottenere teschio, powskull, pow, powskull è una specifica sequenza, ed è esattamente tanto poco probabile quanto quattro teschi. Solo che siccome non ha una forma riconoscibile, e soprattutto verosimilmente non ci rovina il turno, non la raccontiamo per sei mesi a tutti quelli che vogliono ascoltarci.
Ogni sequenza precisa ha una probabilità bassa. Alcune, però, hanno un aspetto che il nostro cervello riconosce immediatamente e su cui si focalizza. Le ripetizioni, le simmetrie, i risultati particolarmente favorevoli o disastrosi fanno tutti parte di questa categoria.
Al termine di un torneo nessuno racconta del normalissimo blocco del quarto turno della seconda partita. Tutti però ricordano il triplo uno che ha impedito il touchdown decisivo. È comprensibile, ma produce un archivio mentale completamente falsato. E quando apriamo quell’archivio per fare comparazioni o ragionamenti concludiamo inevitabilmente che i nostri dadi tirano troppi uno.
La legge dei grandi numeri è amica del torneo, non dell’exploit
Nel Blood Bowl questa distinzione è importante perché la casualità esiste, ha un peso enorme, ma non cancella la capacità del giocatore.
Una singola partita può certamente essere decisa da una sequenza improbabile. Su molte partite, invece, le scelte ripetute cominciano a pesare più dei singoli episodi: il posizionamento, la gestione del rischio, l’ordine delle azioni, la capacità di adattarsi quando il piano iniziale finisce sotto le ruote di un deathroller.
Questo non significa che, dopo tre partite sfortunate, la quarta debba andarci bene. Quelle tre sconfitte non hanno ordinato all’universo una vittoria compensativa con consegna entro domenica sera. Significa solo che, su un campione sufficientemente ampio, un giocatore che si procura blocchi migliori, tira meno dadi inutili e conserva più opzioni dopo un fallimento tenderà a ottenere risultati migliori di chi gioca peggio. Il singolo torneo può premiare o punire chiunque. Una lunga serie di tornei è meno accomodante.
Ovviamente le partite di Blood Bowl non sono esperimenti perfettamente identici: cambiano gli avversari, i roster, gli accoppiamenti, le skill e perfino i regolamenti; di conseguenza non possiamo usare la legge dei grandi numeri come un martello matematico e dichiarare che la classifica rappresenti con precisione divina il valore di tutti. Possiamo però ricavarne una lezione pratica: una partita ci racconta una storia, molte partite cominciano a darci informazioni. Se una scelta ha funzionato una volta, non è necessariamente una buona scelta. Se ha fallito una volta, non è necessariamente sbagliata. Per crescere bisogna affrancarsi dal risultato di una scelta e chiedersi invece con quale probabilità avrebbe funzionato, quali conseguenze avrebbe avuto il fallimento e se esistevano alternative migliori. Il risultato del dado giudica l’azione. Un bravo allenatore deve imparare a giudicare la decisione.
Il passato non ci deve niente
La fallacia del giocatore e la legge dei grandi numeri non si contraddicono perché rispondono a due domande diverse. La prima domanda è “dopo ciò che è appena accaduto, cambia la probabilità del prossimo tiro?”, e la risposta è “no”. La seconda domanda è “ripetendo moltissime volte lo stesso esperimento, quale frequenza osserverò?”, e la risposta è “quella prevista dalle probabilità”.
Il prossimo doppio teschio ha sempre una probabilità su trentasei. Dopo migliaia di blocchi, i doppi teschi saranno probabilmente vicini a uno ogni trentasei. Le due cose sono vere contemporaneamente perché il totale si avvicina alla media senza che nessun singolo tiro debba farsi carico di correggerlo. Quindi no: dopo tre rush riusciti non è “il momento dell’uno”. E dopo tre rush falliti non siete più al sicuro. Ogni nuovo tiro al 2+ ha cinque possibilità su sei di riuscire. Possiamo decidere se tirarlo o meno valutando il momento, il turno, il punteggio e ciò che accadrebbe cadendo, ma non dobbiamo decidere in base alla sensazione che i dadi siano caldi, freddi, maturi, stanchi o finalmente pronti a collaborare.
Nuffle non tiene i conti. Non compensa le ingiustizie, non restituisce ciò che ha tolto e non considera il fatto che abbiamo giocato benissimo fino a quel momento. Nuffle non si ricorda di noi. Il problema è che noi ci ricordiamo benissimo di lui.
Nota dell’autore: questo articolo, come i precedenti, è il mio coping mechanism quando faccio cagare. Questo non toglie che possa essere una lettura utile, insieme a questo e a questo.